Buenos días a todos.
Hoy vamos a repasar el sistema diédrico directo. Utilizaremos para ello un ejercicio muy sencillo de intersección entre dos planos.
En el sistema directo podemos representar los dos planos por tres puntos. En nuestro caso tenemos dos planos, el azul formado por los puntos ABC y el rojo formado por los puntos DEF.
Para hallar la intersección entre ambos planos en el sistema diédrico tradicional usaríamos dos planos horizontales para ver la intersección de cada plano horizontal con los planos que forman los triángulos, y ver las intersecciones resultantes.
Sin embargo con el sistema directo lo que planteamos es intersecciones recta-plano a través de planos perpendiculares al plano vertical que contengan a un lado del triángulo azul, de tal forma que la intersección sea directa. Con ello conseguimos una ejercicio más limpio, cómo veremos a continuación.
P y Q son los planos de canto que usaremos para hallar las intersecciones con el plano DEF. En la primera, nos saldrán los puntos 1 y 2, que al unirlos nos darán el punto M; y con la segunda intersección, esta vez con el plano Q y el plano DEF, nos darán las intersecciones 3 y 4, que al unirlas nos darán el punto N.
La recta solución será la recta que surge al unir M y N.
Espero que os haya servido a todos!
Un saludo!
Dibujado el enunciado del problema comenzamos:
Lo primero que tenemos en cuenta es donde tenemos el centro de inversión, en nuestro caso el centro de inversión es coincidente con el punto A, por lo que el punto inverso A' quedará indefinido.
Para encontrar el inverso del punto B buscaremos primero la circunferencia de puntos dobles o autoinversión, que es aquella cuyos puntos inversos son iguales a los puntos iniciales (P = P'). Para dibujar esta circunferencia nos basta con saber que su centro es el punto de inversión y su radio es la constante K=AT, dato que nos da el enunciado. (Si no lo entiendes revisa la teoría aquí!)
Dibujamos la tangente a la circunferencia por T, y la mediatriz del segmento TB.
Donde se corte la mediatriz del segmento TB y la tangente por T, obtenemos el centro de la circunferencia de radio OB que contiene al punto inverso B', ya que dos pares de puntos inversos no alineados forman siempre una circunferencia.
Si realizamos lo mismo con el resto de puntos el resultado es el siguiente:
Como podemos observar se cumple que la inversa a una circunferencia que pasa por el punto de inversión es una recta que no pasa por el punto de inversión.
Para responder a la segunda pregunta que se plantea te adjunto un dibujo con Geogebra dinámico para que puedas ver cómo varía la solución en función de la constante K.
Hola de nuevo!
Aunque últimamente no he publicado mucho vuelvo con un problema de inversión para animaros un poco.
Hallar el inverso de un hexágono circunscrito en una circunferencia de radio 2,5, sabiendo que un vertice A del hexágono es además el centro de inversión y que la constante de inversión K = 2.
Para los que van un paso por delante:
Si la constante de inversión fuera variable, ¿cómo cambiaría la solución a este problema?
Si aún no te has estudiado la inversión echa un vistazo aquí.
Para ir a la solución pincha aquí.
